Родился в городе Красноармейске в 1983 году в спортивной семье.

В детстве Александр Легков довольно успешно занимался хоккеем, тренируясь у Вячеслава Михайловича Смехова. Он был нападающим и капитаном детской красноармейской команды «Вихрь». В 12 лет был признан лучшим игроком первенства Московской области на призы клуба «Золотая шайба». Дальнейшая карьера в качестве хоккеиста предполагала переход в серьёзный клуб, ближайший из которых находился в Москве. Однако ни денег, ни времени на поездки в Москву не было. На этом хоккейная карьера Александра закончилась. Затем Легков оказался в биатлоне, где его тренером стал Владимир Иванович Загулов.

Александр Легков начал заниматься лыжными гонками в группе Владимира Васильевича Кренёва (Лыжный клуб «Слаломист», г. Москва). После попадания в юниорскую сборную России в 2001 году тренером Легкова стал Юрий Викторович Бородавко.

В 2002 году занял 1-е место в гонке на 10 км в категории FIS Race в Красногорске (Россия).

В 2003 году занял 1-е место в гонке на 15 км на Континентальном Кубке в Красногорске.

В 2006 году стал Чемпионом мира среди молодёжи до 23 лет в дуатлоне 15 км + 15 км, а также бронзовый призёром чемпионата мира среди молодёжи U23 в гонке классическим стилем на 15 км (Словения, Кранья−2006).

В 2007 году занял 1-е место в гонке на 15 км на Кубке Восточной Европы в Красногорске (Россия), стал серебряным призёр Тур-де-Ски (Кавалезе, Италия), занял 1-е место в гонке на 30 км на Кубке мира в Рыбинске (Россия), и, наконец, стал серебряным призером в эстафете 4х10 км на чемпионате мира в Саппоро (Япония).

Занял 1-е место в гонке на 15 км в категории FIS Race в Muonio (Финляндия) в 2008 году.

В 2009 году занял 1-е место в гонке на 15 км на Кубке мира в Лахти (Финляндия).

В 2009 окончил Югорский государственный университет по специальности «Экономика и управление на предприятии строительства».

К сезону 2010/11 годов Александр Легков готовился отдельно от основной сборной в группе под руководством немецкой специалистки по физиотерапии Изабель Кнауте, работавшей ранее с швейцарскими лыжниками. 

На Олимпийских играх в Ванкувере 2010 занял 4 место в скиатлоне.

Начиная с сезона 2011/12 годов и по сезон 2013/14 годов включительно, тренером Александра Легкова являлся швейцарец Рето Бургермайстер. 

Победитель Тур-де-Ски в 2013 году.

Победитель королевского лыжного марафона 50 км свободным стилем на 12-м этапе Кубка мира сезона 2012/2013 в Хольменколлене (Норвегия).

Победитель этапа Кубка мира 2012/2013 в Куусамо, в индивидуальной гонке свободным стилем на 10 км.

На Олимпийские играх в Сочи 2014 занял 1 место в марафоне на 50 км свободным стилем и 2 место в эстафете.

В 2014 году окончил Сургутский государственный университет по направлению «Физическая культура».

В октябре 2014 года в городе Пересвете Московской области состоялось открытие спортивного центра Александра Легкова. В составе центра универсальный спортивный комплекс, сертифицированная лыжная трасса, экипировочный центр, комфортабельная гостиница, детский спортивный клуб.

27 марта 2016 года вступил в партию «Единая Россия» и заявил о желании стать участником предварительного голосования партии по выборам в Московскую областную думу. В мае 2016 года победил на праймериз «Единой России».

18 сентября 2016 года был избран депутатом Московской областной Думы по Сергиево-Посадскому избирательному округу № 21.

Является членом Комитета по делам молодёжи и спорта.

В ноябре 2016 года избран начальником регионального штаба движения «Юнармия» в Московской области.

6 апреля 2018 года Александр Легков объявил о завершении международной карьеры. Об этом спортсмен заявил, выступая в Ханты-Мансийске на ежегодном конкурсе "Спортивная элита".

• Орден Дружбы (24 февраля 2014 года) — за большой вклад в развитие физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения на XXII Олимпийских зимних играх 2014 года в городе Сочи.
• Благодарность Президента Российской Федерации (5 марта 2010 года) — за заслуги в развитии физической культуры и спорта, высокие спортивные достижения на Играх XXI Олимпиады 2010 года в Ванкувере.
• Заслуженный мастер спорта России (17 февраля 2014 года).